Ansys Mechanical 비선형 접촉 해석을 위한 Tip

Introduction 

실제 자연계의 현상은 본질적으로 모두 비선형이다. 하지만 일반적으로 우리는 컴퓨터 성능과 같은 여러 제약 조건으로 인해 유한요소 해석에서 이러한 비선형성을 단순화하고 선형으로 가정하는 해석을 주로 진행해왔다.
최근에는 정확한 해석에 대한 수요가 증가하면서 비선형 문제에 대한 관심이 높아지고 있다. Ansys Mechanical™의 수렴 기능이 지속적으로 개선되고 있음에도 불구하고, 비선형 접촉 해석은 여전히 사용자에게 높은 수준의 해석 능력을 요구한다.
이번 엔진 74호에서는 유한요소 모델에서 접촉 문제를 바라보는 기본적인 관점과 함께, 비선형 접촉 문제를 다루는 엔지니어를 위한 실용적인 해석 Tip을 소개하고자 한다.

■ 비선형 접촉 해석의 이해

유한요소 해석은 복잡한 구조물을 작은 요소들로 나누어 해석하는 방법이다. 이 과정은 마치 서로 연결된 연립 방정식과 같이 작동한다. 각 요소에 가해진 하중은 변위를 발생시키고, 이 변위는 인접한 요소에 새로운 하중 조건을 만든다. 이러한 상호 작용이 전체 모델에 걸쳐 이어지기 때문에, 요소들은 절점(노드)을 통해 서로 연결되어 있어야 한다.
일반적인 유한요소 해석과 달리, 비선형 접촉 문제에서는 두 물체가 서로 접촉했다가 떨어질 수 있다. 이렇게 되면 유한요소 모델의 연결이 끊어지는 상황이 발생한다.
이 문제를 해결하기 위해, Ansys에서는 접촉 요소에 특별한 접근 방식을 사용한다. 비록 접촉 요소 자체는 물리적 형상이 없지만, Contact 요소와 Target 요소 사이에 가상의 스프링이 있다고 가정한다.
이 가상의 스프링은 두 요소 간의 상태(침투량과 요소 강성)에 따라 강성이 조절된다. Ansys에서는 이를 "Normal Stiffness"(접촉 강성)라고 부른다.
일반적으로 비선형 문제에서는 변화가 완만할수록 수치적으로 더 쉽게 해결할 수 있다. 따라서:

◆ 접촉 강성을 낮게 설정하면 → 수렴성이 좋아지고 계산 속도가 빨라진다.
하지만 그 대가로 → 접촉 부위의 침투량이 증가한다. (물리적으로 정확하지 않은 결과)

◆ 비선형 접촉 문제를 성공적으로 해결하는 핵심은, 접촉 강성을 적절하게 설정하여 다음 두 가지를 동시에 달성하는 것이다 :

-    좋은 수렴성 (계산이 빠르고 안정적으로 완료됨)
-    허용 가능한 수준의 정확도 (과도한 침투가 발생하지 않음)

이를 위해 적절한 접촉 강성을 얻는 것은 비선형 접촉문제에 있어 매우 중요한 사항이다.

참고: 이 설명은 Ansys에서 가장 많이 사용되는 접촉 알고리즘인 Augmented Lagrange와 Pure Penalty 방식에 기반하고 있다. 이와 관련한 내용 및 Tip은 ANZINE vol.36의 “비선형 접촉 해석 Tip” 내용을 참고하면 좋을 것이다. 보다 상세하고 깊은 내용은 비선형 접촉 교육 수강을 추천한다.

■ 모델의 접촉 상태

비선형 해석에서는 모델의 초기 접촉 상태가 해석의 수렴성에 지대한 영향을 미친다. 3D CAD 프로그램에서 모델을 어셈블하여 Ansys로 가져올 때, 접촉 부품 간 상태는 크게 세 가지 경우 중 하나로 나타난다: 정확한 접촉(거리 0), 간섭(Penetration), 또는 간극(Gap)이 그것이다.
비선형 접촉 문제에 있어 간극이 존재하는 경우 해석의 난이도가 현저히 증가한다. 육안으로는 매우 작은 공차에 불과하지만, 해석 프로그램의 관점에서는 이러한 간극이 마치 거대한 협곡과 같이 인식된다. 이는 간극의 물리적 크기가 0.01mm든 1000m든 해석 알고리즘에게는 동일한 '열린(Open)' 상태로 처리되기 때문이다.

Fig1. 해석 프로그램 관점에서 접촉 간극은 마치 거대한 협곡과 같다.

Fig2. Initial Information of Contact Tool

이러한 간극의 존재는 비선형 문제의 수렴을 방해하는 주요 요인이 된다. 특히 정적 해석 시에는 해당 부품이 비현실적인 무한대의 변형을 겪으며 해석 영역을 벗어나는 현상을 초래할 수 있다. 이는 해석의 실패로 이어지는 주요 원인이 된다.

Fig3. Error Message

따라서 비선형 접촉 해석을 효과적으로 수행하기 위해서는 모델 어셈블리 과정에서 미소한 침투가 발생하도록 배치하는 것이 유리하다. 이러한 초기 침투 상태는 접촉 알고리즘이 접촉 조건을 더 안정적으로 식별하고 처리할 수 있게 하여 수렴성을 향상시킨다.
미소한 침투 상태에서는 접촉 강성이 즉시 활성화되어 초기 해석 단계에서의 안정성이 확보되며, 이는 복잡한 비선형 접촉 문제의 성공적인 해결에 중요한 역할을 한다. 

■ 변위 제어 하중 조건

비선형 해석에서 하중 조건을 적용하는 방식은 해석의 성공과 효율성에 결정적인 영향을 미친다. 특히 변위 제어(Displacement Control) 방식은 비선형 접촉 문제에서 탁월한 효과를 보인다.
일반적인 힘(Force)이나 압력(Pressure)을 통한 하중 적용 방식과 비교할 때, 변위를 통한 하중 적용은 수렴성과 계산 시간 측면에서 현저한 차이를 나타낸다. 이러한 차이는 해석 알고리즘의 작동 방식에 기인한다.
힘이나 압력을 하중으로 적용할 경우, 해석 과정에서 부품의 최종 위치와 접촉 강성이 모두 미지수로 남게 된다. 이로 인해 해석 프로그램은 이 두 가지 요소를 동시에 계산해야 하므로, 수치적 계산의 난이도가 급격히 증가한다.
반면, 변위를 통해 하중을 적용하면 부품의 최종 위치는 이미 지정된 상태가 되어 접촉 강성만이 주요 미지수로 남게 된다. 이는 계산해야 할 변수의 수를 감소시켜 해석 과정을 현저히 단순화한다.
이러한 방식의 차이는 비선형 접촉 문제에서 특히 두드러지며, 복잡한 어셈블리 모델을 다룰 때 해석의 성공률과 효율성을 크게 향상시킨다. 따라서 비선형 접촉 해석을 수행할 때는 가능한 한 변위 제어 방식을 통해 하중 조건을 설정하는 것이 바람직하다.

Fig4. 하중 제어 vs 변위 제어

■ Null Step 활용

비선형 해석에서 하중 단계(Step)의 설정은 해석의 수렴성에 결정적인 영향을 미치는 요소이다. 하중 변화와 모델 상태 변화의 변곡점을 적절히 고려하여 단계를 설정함으로써 해석의 수렴성을 현저히 향상시킬 수 있다.
이러한 단계 설정에 있어 특히 유용한 방법으로 'Null Step'이 있다. Null Step은 말 그대로 어떠한 추가적인 하중이나 경계 조건의 변화 없이 하중 단계를 부여하여 계산을 수행하는 기법이다. 이 방법은 비선형 접촉 문제에서 접촉 강성 값을 안정화시켜 전체적인 수렴성을 향상시키고 계산 시간을 단축하는 효과가 있다.

Null Step을 비선형 접촉 해석에 적용할 경우 다음과 같은 여러 장점을 얻을 수 있다:

1.  초기 접촉 상태 안정화
   - 실제 하중이 적용되기 전에 접촉 조건을 미리 안정화시킴으로써 후속 해석 단계의 기반을 마련한다.
2.  초기 침투 문제 해소
   - Mesh 생성 과정에서 발생할 수 있는 초기 침투 문제를 효과적으로 해결하여 해석의 정확도를 향상시킨다.
3. 비선형 수렴성 개선
   - 하중 적용 전에 접촉 강성을 먼저 확립함으로써 이후 하중 단계에서의 수렴성을 크게 향상시킨다.
4. 해석 안정성 증대
   - 접촉 조건이 복잡한 비선형 해석에서 전체적인 안정성을 개선하여 해석 실패 가능성을 현저히 감소시킨다.
5. 계산 효율성 향상
   - 본격적인 하중 적용 단계에서 접촉 문제로 인한 반복 계산을 줄여 전체 해석 시간을 단축한다.

Null Step은 특히 여러 부품 간의 복잡한 접촉 관계가 존재하거나, 초기 접촉 상태가 불확실한 모델에서 큰 효과를 발휘한다. 따라서, 이 기법을 비선형 접촉 해석의 첫 단계로 적용하면 후속 해석 과정의 안정성과 효율성을 크게 향상시킬 수 있다.

맺음말

비선형 접촉 해석은 유한요소 해석 분야에서 가장 높은 난이도를 지닌 문제 중 하나로 인식된다. 그러나 접촉 메커니즘에 대한 근본적 이해와 적절한 접근 방법을 습득한다면 이러한 복잡한 문제의 핵심에 효과적으로 접근할 수 있다.
본문에서 다루는 기법들은 일반적인 교재나 매뉴얼에서 상세히 다루지 않는 내용이지만, 다양한 경험을 통해 검증된 방법으로서 비교적 간단한 적용만으로도 비선형 접촉 문제의 수렴성과 계산 효율성을 현저히 향상시킬 수 있다. 여기서 소개된 방법론이 모든 비선형 접촉 문제에 대한 완벽한 해결책을 제공할 수는 없으나, 현재 비선형 해석의 어려움을 겪고 있는 많은 해석 엔지니어들에게 해결의 실마리를 제공하여 사막의 오아시스 같은 도움이 될 수 있었으면 한다.