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10분 만에 이해하는 열전달 시리즈 2편(심화편-전도 열전달)

이광희 수석매니저
태성에스엔이
kwang281@tsne.co.kr

10분 만에 이해하는 열전달 시리즈 2편(심화편-전도 열전달)

Introduction

열전달은 우리 생활 곳곳에서 쉽게 관찰할 수 있는 자연현상이다. 지난 ANZINE 71호 10분 만에 이해하는 열전달 시리즈 1편 (클릭) 에서는 온도 차에 의해 에너지가 이동한다는 기본 원리를 중심으로, 전도(Conduction), 대류(Convection), 복사(Radiation)의 세 가지 주요 열전달 방식을 살펴보았다.

이번 호에서는 그 중에서도 전도 열전달(Conduction Heat Transfer)을 좀 더 깊이 있게 다루고자 한다. 전도는 흔히 고체에서만 발생한다고 생각하기 쉽지만, 사실 기체나 액체에서도 분자 간 상호작용에 의해 일어나는 현상이다. 다만 전도를 이해할 때는 재료의 특성, 접촉 상태, 그리고 시간에 따른 온도 변화 여부도 함께 고려해야 한다.

예를 들면, 온도가 일정하게 유지되는 "정상상태(steady state)" 조건에서는 열전달이 균일하게 이루어지지만, 시간에 따라 온도가 달라지는 "비정상(과도)상태(Transient state)"에서는 온도 분포가 계속 변하며 열전달 양상도 복잡해진다. 게다가 열전달은 온도와는 달리 단순한 스칼라 값이 아니라 크기와 방향성을 가진 벡터량으로 이해해야 하며, 재료의 특성과 맞물려 발생한다.

여러 층으로 이루어진 재료(복합재료)에서는 예상치 못한 열저항이 추가로 발생하기도 한다. 이를 체계적으로 이해하기 위해 이번 호에서는 다음 세가지 주제를 중심으로 살펴볼 것이다.

열저항과 등가열회로
- 전기회로의 저항 개념을 활용해 재료 내부의 열 흐름과 온도 분포를 계산하는 방법
열접촉저항
- 접촉면에서 발생하는 미세한 공기층이나 표면 거칠기가 열전달에 미치는 영향과 이를 고려하는 방법

이러한 주제들을 통해 전도 열전달의 핵심 개념을 보다 심층적으로 이해하고, 실제 설계나 해석 과정에서 마주치는 다양한 상황을 명확히 파악하는데 도움이 될 것이다. 그럼 이제 본격적으로 전도 열전달의 심화된 내용을 살펴보도록 하자.

■ 열저항 (Thermal resistance)

그림1. 평면벽을 통한 전도 열전달 및 등가열회로

두께 L, 단면적 A인 평면벽의 양면은 서로 다른 온도 T₁과 T₂로 유지되어 있고 내부에는 열발생이 없다고 가정한다. 또한 재료의 열전도율은 일정하고 열전도는 시간적으로 정상상태(steady-state)이며 공간적으로는 1차원으로 가정한다.

여기서,

그러면 푸리에의 열전도 법칙에 의해 식(E-1)과 같은 방정식을 얻게 된다. 식(E-2)은 전도에 대한 열저항을 나타낸 것이며, 전도열저항은 기하학적 형상과 매체의 열물성치(thermal properties)에 의존한다는 것을 유의해야 한다.

열전달 방정식은 전류 흐름 I의 관계식과 유사하며, 다음과 같이 표시된다.

전류 I는 열전달률

전압차 V₁-V₂는 온도차 T₁-T₂에 대응하면, 그림1-(b)와 식(E-2)과 같이 전기저항 R_e에 대응하는 전도열저항(conductive thermal resistance) R_cond으로 정의할 수 있다.

이와 마찬가지 방법으로 대류열저항(convective thermal resistance)과 복사열저항(radiative thermal resistance) 또한 식(E-5)와 식(E-8)로 정의할 수 있다.

여기서,

잠시 쉬어가며 : 지은이의 생각

열전달 시리즈, 심화편은 방정식에 대한 이해가 필요하다. 다소 지루하고 복잡해 보일 수 있지만, 비교적 간단한 방정식이기 때문에 조금만 집중하면 큰 어려움 없이 따라올 수 있을 것으로 생각된다.

여기까지 잘 따라왔으면 큰 산은 넘었다고 볼 수 있다. 앞으로 설명할 등가열회로는 전도/대류/복사 열저항을 (식(E-2), 식(E-5), 식(E-8)) 직렬 또는 병렬로 연결한 회로도를 말하는데, 전체 회로도의 저항을 하나의 저항으로 간단히 표현할 수 있기 때문에 열전달 문제를 단순하게 만들어 준다.

■ 등가열회로

그림2. 평면벽 양쪽에 대류가 있는 열전달 문제와 등가열회로

그림2는 등가열회로를 설명하기 위해서 대류와 전도 열전달을 포함하고 있는 간단한 예제를 나타낸 것이다. 두께가 L, 단면적이 A로 일정한 평면벽의 좌측은 고온 유체(T_∞,1)에 의한 대류가 일어나고 있으며, 고온 유체로부터 전달된 열은 평면벽을 통해 우측의 저온 유체(T_∞,2)로 흐른다.

에너지 손실이 없다고 가정하면,

이므로 고온 유체에서 평면벽을 통해 저온 유체로 흐르는

는 일정한데 이것을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

식(E-9)를 저항의 개념을 이용하여 다시 정리하면 다음 식으로 표현된다.

여기서 가비의 원리를 이용하면

이므로 총 온도차 T₁-T₂에 대응하는 총 열저항(R_tot)은 다음 식과 같다.

로부터 평면벽의 양쪽 표면 온도 T₁과 T₂를 계산할 수 있다.

이렇듯 등가열회로를 이용하면 열전달 시스템에서 열전달이 얼마나 일어나고, 온도가 어디서 얼마나 떨어지는지 직관적으로 이해할 수 있다. 그리고 이보다 더 복잡한 복합재료에 대한 열거동을 파악해서 열전달률 계산이 가능하다. (그림3. 참조)

■ 열접촉저항(Thermal contact resistance)

그림3. 복합재료에 대한 등가열회로 및 열접촉저항

일반적으로 복합재료에 대한 열저항을 계산할 경우, 매끈한 면(완전 접촉)으로 가정한다. 하지만 실제 재료의 표면을 미시적 관점에서 보면 그림3. 과 같이 거칠기가 존재하고 밀착된 정도에 따라서 두 표면 사이에 공기로 채워진 공극(void)을 형성하게 된다. 그러므로 접촉면은 열전달 측면에서 약간의 열저항이 발생하게 되는데 이러한 접촉면의 단위 면적당 열저항을 열접촉저항(thermal contact resistance), R_c라 한다. 열접촉저항의 영향을 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 곳이 있는데 그곳이 바로 PC내부이다. CPU에 쿨러를 장착하는 경우에도, 같은 이유로 서멀 그리스를 도포하여 열접촉저항을 최소화하는 것이다.

이 외에도 접촉 압력, 접촉면 사이의 코팅 물질 등의 이유로 열접촉저항이 증가할 수 있다.

두 표면을 흐르는

는 Newton의 냉각법칙(대류 열전달률)과 유사한 방법으로 표시된다.

여기서, T₁, T₂는 두 표면이 접촉하는 경계면 양쪽 온도를 말하며, 대류 열전달계수에 대응하는 h_c는 열접촉 컨덕턴스(thermal contact conductance)라 한다.

그리고 열접촉 컨덕턴스는 열접촉저항과 반비례의 관계를 가지기 때문에 표면간 열접촉저항의 기본 개념은 다음과 같이 정리할 수 있다.

열접촉저항은 이론적인 예측이 어렵기 때문에, 열접촉저항 측정 장비를 이용한 실험적 방법으로만 파악할 수 있으며, 이때 식(E-16)과 같은 관계식을 활용하게 된다. 그러나 실제 설계 및 해석 과정에서는 정밀 측정된 열접촉저항 데이터 확보가 어려운 경우가 많다. 따라서, 여러 문헌에 제시된 일반적인 값을 참고하거나, 열접촉저항을 보수적으로 가정 또는 생략하고 열전달 해석을 수행하는 것이 현실적인 해결책이 될 수 있다.

맺음말

'10분만에 이해하는 열전달 시리즈 2편' 부터는 열전달 심화편으로 전도에 대한 내용을 다루었다. 방대한 내용 중 극히 일부만 설명했기 때문에 부족한 부분이 많다. 그래서 1편과 똑같은 문장으로 "맺음말"을 전하고 싶다.

전도 열전달에 대해서 간단하게 설명하기 위해 노력하다 보니 생략된 부분이 많았고,(이해도에 따라서) 자칫 오해의 소지가 있지 않을까 하는 불안한 마음도 든다. 그렇기 때문에 이 글을 읽고 열전달에 흥미가 생긴 독자들은 반드시 전문 서적을 참고하여 부족한 부분을 채우길 바란다. 이번 호는 여기서 마치고 다음 이야기는 다음 호에서 이어가도록 하겠다.

■ 참고자료

[1] 이광희, (2024), ANZINE 71호: 10분만에 이해하는 열전달 시리즈 1편(열전달 메카니즘), 태성에스엔이
[2] Çengel, Y. A., & Ghajar, A. J., (2011), Heat and mass transfer: Fundamentals and applications (4th ed.). McGraw-Hill Korea.
[3] 김찬중, (2008), 길잡이 열전달, 범한서적주식회사